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珠算小說—從『數術記遺』談古珠算器

    小說珠算，不得不談論『算經十書』(註一)——《數術記遺》。在談論《數術記遺》前，我們也來看一下有關算盤說：

    如果說印刷術、火藥、造紙、指南針是中國人的四大發明，那麼算盤便是第五大發明。這第五大發明於2007年被英國《獨立報》和《印度時報》分別評為影響人類的101項和50項發明的第一位。在2008年中國也將珠算文化列入"國家級非物質文化遺產”。
    算盤發展，眾說紛紜，有元朝說者，北宋說者，唐朝說者，也有漢末或西周初期說者，更有遠在五千年前黃帝說者...，與其說現今算盤前身在東漢徐岳所著《數術記遺》中的『太乙算、兩儀算、三才算、珠算』等，應屬廣義的珠算盤(器)外；元、明時期計算工具籌算和珠算並陳，以至今日"一四珠算盤"(十進位制)。算盤究竟是誰發明?沒有正確文獻可考....。
    但部分「中國珠算史專家」則認為:通過大量春秋文物發掘、出土、研究"確認"算盤的發明人是春秋時期山東曲阜的孔子夫人(這種稱呼不知是否受了"居禮夫人"的影響)。關於她發明算盤的過程已經不再是"傳說故事"；部分中國珠算史專家論證:她為了幫助孔子管理帳目，當好魯國司庫，發明『繩子串珠』的算盤雛型。(註二)；關於此說，本人(臺北珠算工作者)持保留態度。但祈更多古文物史料出土以證史實。 

    《數術記遺》一書，見於北宋《崇文總目》，到了南宋初期失傳，南宋大理評事齙瀚之於嘉定五年(1212年)在杭州發現此書，經翻刻成為以後之傳本，現僅存孤本，收藏在北京大學圖書館。傳本《數術記遺》一書，卷首題有:漢‧徐岳撰，北周漢中郡守前司隸，臣甄鸞注。

    《數術記遺》一書之所以受到珠算史研究者重視，主要它是一本古代首先著錄“珠算”的書；如果該書是徐岳 (東漢) 所著，那麼，在東漢時已有珠算了！？另說. 《數術記遺》一書:“非徐岳所著”。《中國珠算史稿》(華印樁1987)認為：『《數術記遺》著者的真偽問題是關係到能否確定東漢時已有珠算的重要問題』。事實不然，珠算一詞，在《數術記遺》中，實際應指計算器或珠算板〈器〉，和現代所說“珠算”一詞意涵是有所區別的。如果牽強的說，個人認為：『當時數術記遺中的“珠算”應是廣義的珠算板之一，另外太乙算、兩儀算、三才算也都是用珠記數的計算器(盤)，亦是珠算盤(板)』。

    《數術記遺》著者的真偽問題，珠算界對此仍有爭論；自唐、宋、元、明以來，沒有人對此書提出疑問，但清‧《四庫全書總目題要》懷疑這部書並非徐岳所作，是後人偽託，至此而後，珠算研究者，對此書爭論不休…。茲將有關事略，略述如後：

    據《疇人傳》(清‧阮元撰；註三)記載：徐岳，字公河，東漢人，生於漢末，漢靈帝時，受曆學於會稽東部尉劉洪(註四)。又授劉洪“乾象法” …。記載徐岳的著作中並沒有《數術記遺》一書。《舊唐詩》卷四十七、經籍下，始列入“《數術記遺》一卷，徐岳撰，甄鸞注”。《新唐詩』卷五十九、藝文三，記載“《數術記遺》一卷，甄鸞注”。並未提及徐岳撰。凡此，真偽之說尚待珠算研究者考證，在此不加論述…。

    《數術記遺》是古代唯一一本記載算具的書。書中記錄了歷史上曾經出現過以及當時正在使用的算具，一共有十三種(古演算法十四種)。分別是：積算(籌算)、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數算、把頭算、龜算、珠算、計數(註五)等十四種；按照現代珠算學家的觀點，這些古算具可以分為三類。

其一是：第一類古算具，以算珠作為”元件”的“珠算類算具”。最具代表性的有太乙算、兩儀算、三才算和珠算。從它們構造上看都比較接近現代算盤，然而運算規則並不相同：其中太乙、兩儀、三才算都是用算珠的位置來表示數值，使用時，必須以算珠對準相應數值刻度，其中原理近似針盤算具，仍然較不能適應快速運算的要求。

其二是：第二類被稱為“針盤類算具”，它們的樣子像似鐘錶，包括八卦算和龜算。八卦算的盤面上刻有八卦，以它們來表示數字1—8；龜算則以12地支中的九個表示數字1-9。它們的運演算法則是相同的。

其三是：第三類是以“籌”為計算元件的籌算類算具。包括五行算、成數算等。其中積算(籌算)最為優越，它用算籌個數表示數值，並遵循“五升制”，然而它有難以突破的局限：攜帶不方便。就這樣，到了明代籌算類算具也走入了歷史博物館。

     因此，運算速度快、使用方便的古珠算得以流傳並不斷發展改良。 其他古代算具雖然不再被使用，卻成為一種獨特的見證，記錄著古人在算具領域探索的智慧與歷程。今僅就前述，第一類以珠記數的計算器(盤)或是珠算盤(板)，就個人閱歷所及，淺析辯證，並祈諸先進賜教導正。 

  《數術記遺》一書，對十四種演算法和介紹極為簡單，沒有附圖，注文又不夠詳盡；只憑一位日本數學家三上義夫博士《中國數學的特色》(1929年版)提出的說明和想像圖，而後，中、日學者(不是台、日；當時台灣仍是日治時期)提出各種不同論述；就這樣珠算後學(後生)迷糊的陶醉在：『“珠算，控帶四時，經緯三才。”注文：“刻版為三分，其上下二分以停游珠，中間一分以定算位。位各五珠，上一珠與下四珠色別。其上別色之珠當五。其下四珠，各當一。至下四珠所領，故云控帶四時。其珠游於三方之中，故云經緯三才也。”』在這裡我要說明的是：我們的先進前輩，是否忽略了太乙算、兩儀算、三才算當時存在事實和價值；看到《數術記遺》一書中記載著『珠算』一詞，迫不及待的像似挖到寶，想要“立即”的做連結。從以下太乙算、兩儀算、三才算和珠算注文探討中，讓我們共同認識算盤的前身『珠算盤(板)』：

一、        太乙算：“太乙算，太一之行，去來九道。”注文：“刻板橫為九道，豎以為柱，柱上一珠，數從下始。故曰去來九道也。”

二、        兩儀算：“兩儀算，天氣下通，地稟四時。”注文：“刻板橫為五道，豎以為位。一位兩珠，上珠色青，下珠色黃。其青珠自上而下，至上第一刻主五，第二刻主六，第三刻主七，第四刻主八，第五刻主九。其黃珠自下而上，至下第一刻主一，第二刻主二，第三刻主三，第四刻主四，而已。故曰天氣下通，地稟四時也。”

三、        三才算：“三才算，天地和同，隨物變通。” 注文：“刻板橫為三道，上刻為天，中刻為地，下刻為人，豎為算位。有三珠，青珠屬天，黃珠屬地，白珠屬人。又其三珠通行三道。若天珠在天為九，在地主六，在人主三。其地珠在天為八，在地主五，在人主二。人珠在天主七，在地主四，在人主一。故曰天地和同，隨物變通。亦況三元，上元甲子一、七、四，中元甲子二、八、五，下元甲子三、九、六，隨物變通。”

四、        珠算：“珠算，控帶四時，經緯三才。”注文：“刻版為三分，其上下二分以停遊珠，中間一分以定算位。位各五珠，上一珠與下四珠色別。其上別色之珠當五。其下四珠，各當一。至下四珠所領，故云控帶四時。其珠游於三方之中，故云經緯三才也。”

更進一步將太乙算、兩儀算、三才算和珠算四種古珠算板中，原注文作一比較：

    從上表看，關於算盤之柱：太乙算，豎以為柱；兩儀算、三才算，豎以為位；珠算在《數術記遺》一書中，應為無柱，也就是說不是現在使用的珠算盤，但總括來說太乙算、兩儀算、三才算和珠算四種古算器，都是用珠記數的計算器(盤)或是珠算盤(板)。已有後來算盤雛型，也是個人所認為的廣義的珠算板。

    因此，在探討古珠算具同時，也提出個人的觀點和勾勒出的圖像：

一.太乙算：刻板橫為九道，豎以為柱，柱上一珠，數從下始。

   個人認為：「柱上一珠，去來九道」。應該說，每柱一珠表示數值，但並未有可靠文獻說明計算方法殊為可惜，以至揣摩甚為艱辛。因此，此想像圖應是較簡易的數値表示和計算。

二.兩儀算、三才算：以豎為位值，青黃二珠游於五道之間；故曰天氣下通，地稟四時也。 

三. 個人認為：太乙、兩儀、三才三種珠算具，在《論『數術記遺』的算盤》(註六)一文與《關于我國古代珠算的想像圖》(註七)和《我國古代十四種算法》(註八)中較“理想化”的多出放置游珠一道，個人較不以為然。但與《中國數學的特色》一書接近。

    又上世紀，中國考古工作者，在山東沂南發掘出漢代古墓，發現一張浮雕圖有形似珠算板，圓珠置於槽裡，但並無柱貫穿…，這和《數術記遺》一書中的珠算板無柱而有槽是非常值得重視的。1976年，中國考古工作者，在陝西岐山縣發掘出西周王朝早期宮室出土文物發現九十粒陶丸，青色者二十粒，黃色者七十粒，考古學家認為應是當時西周計算用的算珠。

    華印樁在其『中國珠算史稿』認為：“『數術記遺』的原注文並沒有說“豎以為柱”，我們應尊重原注文，只可認為無柱。“；同理：太乙算注文：“刻板橫為九道，…；兩儀算注文：“刻板橫為五道，…；三才算注文：“刻板橫為三道，…。理應尊重原注文，在理想化與事實間求是，因此，個人綜理探討太乙、兩儀、三才三種珠算具想像圖如下：

 四.珠算：注文：“刻版為三分，其上下二分以停游珠，中間一分以定算位。…”。

『魯班木經』(註九)，關於算盤的記載：“線上二子，一寸一分；線下五子，三寸一分”，恰等於“四吋二分大”，顯然沒有橫樑；又因為有線上、線下的說法，因此，這可能是具有後來算盤雛型的珠算板。

 古代珠算歷史源遠流長，籌算雖被普遍使用.但運籌速度快不易擺弄，甚而造成錯誤等缺點,因此“珠算”,它繼承了籌算五升十進與位值制的優點,又克服了籌算縱橫記數與置籌不便的缺點。算盤誕生了，成為影響人類一百大發明的第一位。而今，算盤不因數位化時代而遭淘汰，更因各種研究證明，它在啟智教育功能上受到普遍重視。我們驕傲，驕傲的是我們是算盤的傳人……。

最後，借用華印樁在其《中國珠算史稿》(1987)自序：『…前人對珠算的一些誤解之處，…以免後人以訛傳訛。』；個人觀點難免疏漏繆誤，並祈更多古文物出土，以證史實，諸珠算先進不吝指正，是幸！

註一：《算經十書》是指中國漢、唐時期遺留下來的十部重要數學書籍的一個總稱，也簡稱《十書》。現在所說的十部書主要包括《周髀算經》（簡稱《周髀》）、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張邱建算經》、《五曹算經》、《五經算術》、《緝古算經》、《數術記遺》、《夏侯陽算經》。這十部書並不能概括中國漢唐時期的全部數學知識，但是從中可以看到很多中國古代先賢的理論成就。                                          《十書》的名稱和內容在中國的各個朝代有些變動。乾隆三十九年刻印的《四庫全書》收入《周髀算經》、《音義》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《五曹算經》、《五經算術》和《夏侯陽算經》。後世研究中國漢、唐時代的數學史，主要就以此《十書》為根據。

註二:『關於此說來源:中國珠算協會2001.2珠算月刊第127期』

註三：疇人傳是以人為綱，用傳記體裁寫出各時期天文學家和數學家的生平事蹟       和他們在科學研究中的成就。

註四: 劉洪： 劉洪，字元卓，山東蒙陽人。撰有《乾象曆》等。漢之宗室，東       漢末天文學家。劉洪好學，博覽群書，精通六藝，十分善算。他認為天文、      數學，深奧誘人，遂專心探究，勤奮不懈，人稱“洪善算，當世無偶，作      七曜術”。約西元206年，劉洪曾應皇帝徵召，到洛陽進行天文學的研       究工作。用了二十多年的時間，終於製定了比前人精密得多的新曆法《乾      象曆》。並對九章加以註釋。劉洪曾為會稽東部都尉。徐岳數術記遺中，       稱為會稽而不名，據數術記遺，劉洪乃得當時隱士天目先生之傳，而徐岳      乃受業於劉洪者。

註五：計數：《數術記遺》介紹的一種“心算”方法。原文說：'既舍數術，宜從心計。'注文:'言舍數術者，謂不用算籌，當以意計之。'這說明計算時不用珠、籌、針等工具，只用心算完成。但從注中所舉各例來看，此處"計算"，與現代對心算的理解，又有不同之處。現在的心算，指在數字運算時，不用計算工具，只藉由影珠印象完成。而"計數"的範圍頗廣，在測量及其他方面，不但不用計算工具，而且想出巧妙辦法，不通過數位運算，直接可得所要求的數位結果。"（摘自《世界珠算通典》第279頁）。

註六：《論『數術記遺』的算盤》一文，作者，日‧戶谷清一，日本曉高校教師；本文譯文載於《中華珠算月刊》1983年6月號。