珠算小說—從『數術記遺』談古珠算器
小說珠算,不得不談論『算經十書』(註一)——《數術記遺》。在談論《數術記遺》前,我們也來看一下有關算盤說:
如果說印刷術、火藥、造紙、指南針是中國人的四大發明,那麼算盤便是第五大發明。這第五大發明於2007年被英國《獨立報》和《印度時報》分別評為影響人類的101項和50項發明的第一位。在2008年中國也將珠算文化列入"國家級非物質文化遺產”。
算盤發展,眾說紛紜,有元朝說者,北宋說者,唐朝說者,也有漢末或西周初期說者,更有遠在五千年前黃帝說者...,與其說現今算盤前身在東漢徐岳所著《數術記遺》中的『太乙算、兩儀算、三才算、珠算』等,應屬廣義的珠算盤(器)外;元、明時期計算工具籌算和珠算並陳,以至今日"一四珠算盤"(十進位制)。算盤究竟是誰發明?沒有正確文獻可考....。
但部分「中國珠算史專家」則認為:通過大量春秋文物發掘、出土、研究"確認"算盤的發明人是春秋時期山東曲阜的孔子夫人(這種稱呼不知是否受了"居禮夫人"的影響)。關於她發明算盤的過程已經不再是"傳說故事";部分中國珠算史專家論證:她為了幫助孔子管理帳目,當好魯國司庫,發明『繩子串珠』的算盤雛型。(註二);關於此說,本人(臺北珠算工作者)持保留態度。但祈更多古文物史料出土以證史實。
《數術記遺》一書,見於北宋《崇文總目》,到了南宋初期失傳,南宋大理評事齙瀚之於嘉定五年(1212年)在杭州發現此書,經翻刻成為以後之傳本,現僅存孤本,收藏在北京大學圖書館。傳本《數術記遺》一書,卷首題有:漢‧徐岳撰,北周漢中郡守前司隸,臣甄鸞注。
《數術記遺》一書之所以受到珠算史研究者重視,主要它是一本古代首先著錄“珠算”的書;如果該書是徐岳 (東漢) 所著,那麼,在東漢時已有珠算了!?另說. 《數術記遺》一書:“非徐岳所著”。《中國珠算史稿》(華印樁1987)認為:『《數術記遺》著者的真偽問題是關係到能否確定東漢時已有珠算的重要問題』。事實不然,珠算一詞,在《數術記遺》中,實際應指計算器或珠算板〈器〉,和現代所說“珠算”一詞意涵是有所區別的。如果牽強的說,個人認為:『當時數術記遺中的“珠算”應是廣義的珠算板之一,另外太乙算、兩儀算、三才算也都是用珠記數的計算器(盤),亦是珠算盤(板)』。
《數術記遺》著者的真偽問題,珠算界對此仍有爭論;自唐、宋、元、明以來,沒有人對此書提出疑問,但清‧《四庫全書總目題要》懷疑這部書並非徐岳所作,是後人偽託,至此而後,珠算研究者,對此書爭論不休…。茲將有關事略,略述如後:
據《疇人傳》(清‧阮元撰;註三)記載:徐岳,字公河,東漢人,生於漢末,漢靈帝時,受曆學於會稽東部尉劉洪(註四)。又授劉洪“乾象法” …。記載徐岳的著作中並沒有《數術記遺》一書。《舊唐詩》卷四十七、經籍下,始列入“《數術記遺》一卷,徐岳撰,甄鸞注”。《新唐詩』卷五十九、藝文三,記載“《數術記遺》一卷,甄鸞注”。並未提及徐岳撰。凡此,真偽之說尚待珠算研究者考證,在此不加論述…。
《數術記遺》是古代唯一一本記載算具的書。書中記錄了歷史上曾經出現過以及當時正在使用的算具,一共有十三種(古演算法十四種)。分別是:積算(籌算)、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數算、把頭算、龜算、珠算、計數(註五)等十四種;按照現代珠算學家的觀點,這些古算具可以分為三類。
其一是:第一類古算具,以算珠作為”元件”的“珠算類算具”。最具代表性的有太乙算、兩儀算、三才算和珠算。從它們構造上看都比較接近現代算盤,然而運算規則並不相同:其中太乙、兩儀、三才算都是用算珠的位置來表示數值,使用時,必須以算珠對準相應數值刻度,其中原理近似針盤算具,仍然較不能適應快速運算的要求。
其二是:第二類被稱為“針盤類算具”,它們的樣子像似鐘錶,包括八卦算和龜算。八卦算的盤面上刻有八卦,以它們來表示數字1—8;龜算則以12地支中的九個表示數字1-9。它們的運演算法則是相同的。
其三是:第三類是以“籌”為計算元件的籌算類算具。包括五行算、成數算等。其中積算(籌算)最為優越,它用算籌個數表示數值,並遵循“五升制”,然而它有難以突破的局限:攜帶不方便。就這樣,到了明代籌算類算具也走入了歷史博物館。
因此,運算速度快、使用方便的古珠算得以流傳並不斷發展改良。 其他古代算具雖然不再被使用,卻成為一種獨特的見證,記錄著古人在算具領域探索的智慧與歷程。今僅就前述,第一類以珠記數的計算器(盤)或是珠算盤(板),就個人閱歷所及,淺析辯證,並祈諸先進賜教導正。
《數術記遺》一書,對十四種演算法和介紹極為簡單,沒有附圖,注文又不夠詳盡;只憑一位日本數學家三上義夫博士《中國數學的特色》(1929年版)提出的說明和想像圖,而後,中、日學者(不是台、日;當時台灣仍是日治時期)提出各種不同論述;就這樣珠算後學(後生)迷糊的陶醉在:『“珠算,控帶四時,經緯三才。”注文:“刻版為三分,其上下二分以停游珠,中間一分以定算位。位各五珠,上一珠與下四珠色別。其上別色之珠當五。其下四珠,各當一。至下四珠所領,故云控帶四時。其珠游於三方之中,故云經緯三才也。”』在這裡我要說明的是:我們的先進前輩,是否忽略了太乙算、兩儀算、三才算當時存在事實和價值;看到《數術記遺》一書中記載著『珠算』一詞,迫不及待的像似挖到寶,想要“立即”的做連結。從以下太乙算、兩儀算、三才算和珠算注文探討中,讓我們共同認識算盤的前身『珠算盤(板)』:
一、 太乙算:“太乙算,太一之行,去來九道。”注文:“刻板橫為九道,豎以為柱,柱上一珠,數從下始。故曰去來九道也。”
二、 兩儀算:“兩儀算,天氣下通,地稟四時。”注文:“刻板橫為五道,豎以為位。一位兩珠,上珠色青,下珠色黃。其青珠自上而下,至上第一刻主五,第二刻主六,第三刻主七,第四刻主八,第五刻主九。其黃珠自下而上,至下第一刻主一,第二刻主二,第三刻主三,第四刻主四,而已。故曰天氣下通,地稟四時也。”
三、 三才算:“三才算,天地和同,隨物變通。” 注文:“刻板橫為三道,上刻為天,中刻為地,下刻為人,豎為算位。有三珠,青珠屬天,黃珠屬地,白珠屬人。又其三珠通行三道。若天珠在天為九,在地主六,在人主三。其地珠在天為八,在地主五,在人主二。人珠在天主七,在地主四,在人主一。故曰天地和同,隨物變通。亦況三元,上元甲子一、七、四,中元甲子二、八、五,下元甲子三、九、六,隨物變通。”
四、 珠算:“珠算,控帶四時,經緯三才。”注文:“刻版為三分,其上下二分以停遊珠,中間一分以定算位。位各五珠,上一珠與下四珠色別。其上別色之珠當五。其下四珠,各當一。至下四珠所領,故云控帶四時。其珠游於三方之中,故云經緯三才也。”
更進一步將太乙算、兩儀算、三才算和珠算四種古珠算板中,原注文作一比較:
計算器
|
刻 板
|
豎、柱
|
珠
|
遊 珠
|
太乙算
|
刻板橫為九道
|
豎以為柱
|
柱上一珠
|
去來九道
|
兩儀算
|
刻板橫為五道
|
豎以為位
|
一位兩珠
|
青珠自上而下
黃珠自下而上
|
三才算
|
刻板橫為三道
|
豎為算位
|
有三珠
|
三珠通行三道
|
珠 算
|
刻板為三分
|
中間一分以定算位
|
位各五珠
|
至下四珠所領
其珠游於三方之中
|
從上表看,關於算盤之柱:太乙算,豎以為柱;兩儀算、三才算,豎以為位;珠算在《數術記遺》一書中,應為無柱,也就是說不是現在使用的珠算盤,但總括來說太乙算、兩儀算、三才算和珠算四種古算器,都是用珠記數的計算器(盤)或是珠算盤(板)。已有後來算盤雛型,也是個人所認為的廣義的珠算板。
因此,在探討古珠算具同時,也提出個人的觀點和勾勒出的圖像:
一.太乙算:刻板橫為九道,豎以為柱,柱上一珠,數從下始。
個人認為:「柱上一珠,去來九道」。應該說,每柱一珠表示數值,但並未有可靠文獻說明計算方法殊為可惜,以至揣摩甚為艱辛。因此,此想像圖應是較簡易的數値表示和計算。
二.兩儀算、三才算:以豎為位值,青黃二珠游於五道之間;故曰天氣下通,地稟四時也。
三. 個人認為:太乙、兩儀、三才三種珠算具,在《論『數術記遺』的算盤》(註六)一文與《關于我國古代珠算的想像圖》(註七)和《我國古代十四種算法》(註八)中較“理想化”的多出放置游珠一道,個人較不以為然。但與《中國數學的特色》一書接近。
又上世紀,中國考古工作者,在山東沂南發掘出漢代古墓,發現一張浮雕圖有形似珠算板,圓珠置於槽裡,但並無柱貫穿…,這和《數術記遺》一書中的珠算板無柱而有槽是非常值得重視的。1976年,中國考古工作者,在陝西岐山縣發掘出西周王朝早期宮室出土文物發現九十粒陶丸,青色者二十粒,黃色者七十粒,考古學家認為應是當時西周計算用的算珠。
華印樁在其『中國珠算史稿』認為:“『數術記遺』的原注文並沒有說“豎以為柱”,我們應尊重原注文,只可認為無柱。“;同理:太乙算注文:“刻板橫為九道,…;兩儀算注文:“刻板橫為五道,…;三才算注文:“刻板橫為三道,…。理應尊重原注文,在理想化與事實間求是,因此,個人綜理探討太乙、兩儀、三才三種珠算具想像圖如下:
青珠 九、六、三
黃珠 八、五、二
白珠 七、四、一
|
|
四.珠算:注文:“刻版為三分,其上下二分以停游珠,中間一分以定算位。…”。
『魯班木經』(註九),關於算盤的記載:“線上二子,一寸一分;線下五子,三寸一分”,恰等於“四吋二分大”,顯然沒有橫樑;又因為有線上、線下的說法,因此,這可能是具有後來算盤雛型的珠算板。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
古代珠算歷史源遠流長,籌算雖被普遍使用.但運籌速度快不易擺弄,甚而造成錯誤等缺點,因此“珠算”,它繼承了籌算五升十進與位值制的優點,又克服了籌算縱橫記數與置籌不便的缺點。算盤誕生了,成為影響人類一百大發明的第一位。而今,算盤不因數位化時代而遭淘汰,更因各種研究證明,它在啟智教育功能上受到普遍重視。我們驕傲,驕傲的是我們是算盤的傳人……。
最後,借用華印樁在其《中國珠算史稿》(1987)自序:『…前人對珠算的一些誤解之處,…以免後人以訛傳訛。』;個人觀點難免疏漏繆誤,並祈更多古文物出土,以證史實,諸珠算先進不吝指正,是幸!
註一:《算經十書》是指中國漢、唐時期遺留下來的十部重要數學書籍的一個總稱,也簡稱《十書》。現在所說的十部書主要包括《周髀算經》(簡稱《周髀》)、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張邱建算經》、《五曹算經》、《五經算術》、《緝古算經》、《數術記遺》、《夏侯陽算經》。這十部書並不能概括中國漢唐時期的全部數學知識,但是從中可以看到很多中國古代先賢的理論成就。 《十書》的名稱和內容在中國的各個朝代有些變動。乾隆三十九年刻印的《四庫全書》收入《周髀算經》、《音義》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《五曹算經》、《五經算術》和《夏侯陽算經》。後世研究中國漢、唐時代的數學史,主要就以此《十書》為根據。
註二:『關於此說來源:中國珠算協會2001.2珠算月刊第127期』
註三:疇人傳是以人為綱,用傳記體裁寫出各時期天文學家和數學家的生平事蹟 和他們在科學研究中的成就。
註四: 劉洪: 劉洪,字元卓,山東蒙陽人。撰有《乾象曆》等。漢之宗室,東 漢末天文學家。劉洪好學,博覽群書,精通六藝,十分善算。他認為天文、 數學,深奧誘人,遂專心探究,勤奮不懈,人稱“洪善算,當世無偶,作 七曜術”。約西元206年,劉洪曾應皇帝徵召,到洛陽進行天文學的研 究工作。用了二十多年的時間,終於製定了比前人精密得多的新曆法《乾 象曆》。並對九章加以註釋。劉洪曾為會稽東部都尉。徐岳數術記遺中, 稱為會稽而不名,據數術記遺,劉洪乃得當時隱士天目先生之傳,而徐岳 乃受業於劉洪者。
註五:計數:《數術記遺》介紹的一種“心算”方法。原文說:'既舍數術,宜從心計。'注文:'言舍數術者,謂不用算籌,當以意計之。'這說明計算時不用珠、籌、針等工具,只用心算完成。但從注中所舉各例來看,此處"計算",與現代對心算的理解,又有不同之處。現在的心算,指在數字運算時,不用計算工具,只藉由影珠印象完成。而"計數"的範圍頗廣,在測量及其他方面,不但不用計算工具,而且想出巧妙辦法,不通過數位運算,直接可得所要求的數位結果。"(摘自《世界珠算通典》第279頁)。
註六:《論『數術記遺』的算盤》一文,作者,日‧戶谷清一,日本曉高校教師;本文譯文載於《中華珠算月刊》1983年6月號。